피타고라스(Pythagoras)의 정리와 증명 두 가지

 

이번 포스팅은 좀 머리 아픈 것을 다뤄보고자 합니다.

바로 피타고라스의 정리인데요.

 

피타고라스의 정리는 학교에서 배우는 것이지만 그 증명과정을 기억하기가 힘들어 알아보았습니다.

일단 삼각형은 직각삼각형에서만 가능하고, 그 삼각형에서 장변의 제곱값은 다른 두 변의 제곱값의 합과 같다는 것을 증명하는 것입니다.

 

이 정리의 증명법은 수백가지가 존재합니다.

저는 가장 대표적인 피타고라스의 방법과 유클리드의 방법으로 살펴보겠습니다.

 

 

먼저 피타고라스의 증명입니다.

 

비교적 쉬운 방법인데요.

큰 사각형의 넓이를 구하는 방법으로 증명합니다.

물론 구석에 있는 네 개의 삼각형은 모두 합동이며 큰 사각형과 안의 사각형은 정사각형입니다.

 

일단 개요는 이렇습니다.

 

a+b를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이 = c를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이 + 삼각형 4개의 넓이

 

이 내용을 위의 그림에 있는 기호로 나타내면 다음과 같습니다.

 

( a + b )² = c² + 1/2ab * 4

 

이대로 정리해 나가보겠습니다.

 

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c² + 2ab – 2ab

a² + b² = c²

 

요렇게 정리됩니다.

 

 

 

유클리드의 증명법은 조금 까다롭습니다.

삼각형의 성질을 이용하여 나타내는 풀이법인데요.

 

천천히 진행하겠습니다.

 

먼저 보라색 삼각형은 직각삼각형이고 그 각 변에 접해있는 사각형들은 정사각형이라는 가정을 먼저 밝힙니다.

 

△ADB는 △CDB와 넓이가 같습니다.

AE와 DB가 평행하므로 밑변의 길이와 높이가 같기 때문이죠.

마찬가지로 아래 쪽에 있는 △HBG와 △ABG 역시 넓이가 같습니다.

 

그리고 이 과정이 중요한데요.

△CDB와 △ABG가 합동이라는 점입니다.

SAS 합동의 조건을 만족시키는데 BD와 AB의 길이가 같고, BC와 BG의 길이가 같으며 사이 끼인각이 같기 때문이죠.

 

그럼 결국 △ADB와 △HBG의 넓이가 동일한 것이 됩니다.

결과적으로 □ABDE와 □BGIH의 넓이가 같습니다.

 

이러한 과정을 □ACJK와 □CFIH에서도 반복하면 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

□ABDE = □BGIH

□ACJK = □CFIH

 

□ABDE + □ACJK = □BGIH + □CFIH = □BCFG

 

결국 각각의 정사각형 넓이를 구해서 정리하면 역시 다음과 같습니다.

 

a² = b² + c²

 

( 참고그림을 따로 구하다 보니 두 증명방법에 나오는 공식이 다르게 생겼지만 정리와는 부합합니다. )

 

 

아무튼 결론은

 

피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 수없이 많다.